为什么说正方形是特殊的矩形，却不说圆是特殊的椭圆？

圆当然是特殊的椭圆。

但是关于椭圆的学科太难了。

我们说正方形是特殊的矩形时，往往是要把正方形的性质一般化，得到所谓的“通式”。

所以当我们说圆是特殊的椭圆时，则是要把圆的性质一般化。所以我们发现，半径为r的圆就是半长轴a和半短轴b相等的椭圆，椭圆的面积公式相比也一定就是 吧！

经过验证，确实是。我们成功将半径、面积一般化了，只要再把周长一般化，那么我们就可以很轻松地说圆是特殊的椭圆了。

那么顺利成章，椭圆的周长公式就是......，欸，不对，圆的周长公式 中只有一个r，这要怎么分。平均分？ ?经过验证，不对。然后人们开始了漫长的求椭圆周长的公式。

它等于 这个积分积不出来，原函数是个超越函数，最后结果只能用级数来表示。由此诞生了一个数学分支叫做椭圆积分。你把a=b带进去就可以得到 ,此时a就是圆的半径r，即圆的周长公式。

所以当我们把圆称作特殊的椭圆时，往往就是要涉及椭圆积分了，它太难了，大部分人学不到这里。

最后说一说为什么椭圆周长计算这么复杂，或者说特殊。这与 有关系， 是圆的周长与直径之间的比例，它一开始就是用圆定义的。我们可以简单的设想到，一个给定的椭圆，其周长一定是与a和b有关系的，但是这个比值显然不是，每个给定a、b值的椭圆都有一个自己的“椭圆周率”，我们在把圆一般化的过程中，需要把 给一般化了。但是显然我们无法直接知道每个椭圆自己的椭圆周率，它有无数个，所以我们需要借助已知的 来架桥。当然这种说法并不严谨，只是可以用来简单思考椭圆与圆的关系。