如何理解向量空间的8条公理？

这个“八项规定”其实是“代数结构”这个东西进化过程中的不断添加的要求。代数结构指群、环、域、向量空间这些东西，它们都是从“集合”起家的。如果对代数结构的演进过程有一个了解，对八项规定的作用也就很容易理解了。

以下是之前做的关于代数结构演进过程的说明，或有帮助。

本文根据之前做的回答编辑。当时看了@碱式碳酸钴关于代数结构的文，觉得好，就学着用白话又扯了一遍。扯过以后觉得对代数结构这玩意清楚了很多，发出来后好像也确实帮到一些人。现在再以文章的形式发出来，以便再回答问题时做引用。

以集合为基础建立的群、环、域和向量空间的演进过程。

A.群

一，先有集合

群、环、域和向量空间是四款代数结构，这些结构的基础构件都是集合，就是首先得有一帮子东西(元素)凑到一起了，集合成一伙(我们有兴趣去研究或处理它们)。然后，在这个集合之上再加上各款运算，以及特殊的元素(与运算有关)，层层加码，就一步一步建设起来了群、环、域和向量空间了(集合+运算)。

二，后有原(始)群

加码最少的是群。首先是必须有一个运算(还没有特别指定必须是那种运算，以*表示)。给一个集合加上一个运算后，如果这个集合里的元素经过运算之后，其结果还是这个集合里的一个元素，这个集合就妥妥地有了变身为一个群的基本素质了。

请注意到，这个集合升级为群的第一个台阶不是多几个元素，而是加上了一个运算。加法就是一个运算，乘法也是啊。但这里还没要求，没特指，只是说，如果有这么个运算，但点明了这个运算的结果不能出圈。

这个运算结果还是集合里一个元素的现象叫运算的“封闭性”。这样看，一个集合要能构建出一个群的基本功是它对某个运算必须封闭，运算的结果不能出圈(原集合)。反过来想，就会有一些集合对某些运算不封闭，那就构不成一个群了。但“封闭性”只是一个基本属性，这个“集合+运算”这时还只是一个初级产品，按碱式的说法，它还只是一个“原(始)群”。

用稍微数学一点的表达方式，就是：如果对集合M里的任何元素a,b，若对它们做一个运算*，使c=a*b，若这个运算结果c还是属于M里的一个元素，则这个“集合+运算”(记为(M，*))就构成一个“原(始)群”了。

三，再进一步是半群

如果对这个运算再加一个限制条件，比如满足结合律，这个原(始)群就升级了。啥叫满足结合律？就是无论有几个元素参与这个运算，只要参与运算的元素不变，那么，它们参与运算的先后顺序不影响运算的结果。

用比较数学的语句来表达，就是，如果a,b,c都是这个集合里的元素，如果做这个运算，得d=a*(b*c)=(a*b)*c，则这个运算满足结合律。根据四则运算规则，在刮号里的运算先做么。以上等式表示若有几个元素排在一起连续做这个运算，那么，无论把其中哪两个之间的运算先做一下，最终的运算结果都一样。这就是满足结合律。

这个原(始)群的运算在满足封闭性后若又满足了结合律，它就是一个比原(始)群更严谨一点的群了，它有一个名字，叫“半群”。

四，后继有人是幺半群

半群之后再进阶，就是幺半群了。但这个幺半群进阶的法子不靠对运算再设限了，而是靠在集合里必须有一个特别的元素。啥元素？叫单位元(又称中性元)，符号e。

这单位元e有啥功能？

就是这个半群里的任何一个元素与这个单位元进行运算，结果还是该元素本身。就是说：若在(M,*)中有了一个元素e，使得对任何一个属于(M,*)的元素a，都有a*e=e*a=a，只要这个集合的元素里有这么个元素，这个半群就可以升级为幺半群了。

我们顺着推一下，如果这个运算*是一个加法运算+(与集合构成一个加法群)，那么这个单位元e就该是一个0；而如果这个运算是一个乘法运算x(与集合构成一个乘法群)，这个单位元就该是一个1了吧。

五，再补一记成完整的群

在原(始)群、半群和幺半群之后，我们再给运算加一个紧箍咒，就是运算必须具有对称性，或者说是可逆性。就是说，如果在这个幺半群中，对元素a,总能在这个幺半群中找到一个元素b，而这个运算能做到使a*b=b*a=e，这个幺半群就可以进阶到一个完整严格的群了。

各位看官请注意，这个要求貌似是对运算的，其实是对集合提的，它要求集合中的每一个元素，对应着相应的运算(加法或乘法)，都有另外一个元素正好是自己的“镜面元素”，确保自己与镜面元素做这个运算时，结果一定是单位(中性)元。

瞧见没，一个集合，加一个满足四项基本原则的运算，就构成了一个群。

六，特殊分子~阿贝尔群

对于一个群(这里指一个完整严格的群，不再只是一个原始群了)，如果对于其中的任何两个元素a,b，都有a*b=b*a，就是说，这个运算是可交换的，这个群就是一个特别的群了，学名就叫可交换群，但又被后人用来怀念群论大师阿贝尔，就又被冠名为阿贝尔群了。

我们把群的进阶总结一下：

1.集合M是群的基础构建;

2.原(始)群：集合M+具备封闭性的运算*;

3.半群：+运算满足结合律；

4.幺半群：+元素里有单位(中性)元。

5.群(完整严格的)：+运算满足对称性(可逆性)。

6.阿贝尔群：+运算满足交换律。

关于域环、向量空间，容后学说。

在扯别的内容之前，回过头来再多说几句关于群的运算设定。你看看阿贝尔群的交换性条件和完整群的对称、可逆性条件，两者都有一个a*b=b*a，咋看起来这两厢一样么，都是可交换的，其实不然。对于一般群，说的是对称性或可逆性，这意思就是，如果幺半群里有一个元素a，如果你要成一个完整的群，就必须能找到另外一个与之对称或曰可逆的元素b，不仅要使a*b=b*a，还得使这个“可交换”的运算的结果是e，就是必须有a*b=b*a=e。

这里的这个“可交换”的关系是指两个“对称”的“可逆”的元素之间的关系，而不是元素之间在运算时的普遍关系。并且，对这个运算的结果有一个限定，就是必须等于e。

你看啊，在这里，如果这是一个加法运算，则对于任何一个a，就必然有一个-a与之配对，使得a+(-a)=0(加法运算时的e=0)，这个a与-a是关于0点对称的，对吧？这也可称为“可逆”的，就是无论你这个a取的多牛皮，我总能找到一个-a，一巴掌逆袭，把你打回原形，全归于0，啥都没有了。

而对于乘法运算，则是无论你的a取啥(除了零元吧)，我都有一个元素1/a，使得a*1/a=1(对乘法运算，e=1)。

这个a*b=b*a=e讲的是两个元素的配对，运算得e。而在阿贝尔群的条件里，对a*b=b*a的可交换性则是普适的，就是这个群里的所有元素之间的运算都必须能满足可交换性，这样，一个群才能特化为阿贝尔群。当然，它不要求运算的结果得到e。

B.环

现在扯环

群是一种代数结构，环也是，而且环是搭建在群上的，准确地说，环是搭建在阿贝尔群之上的。之前说群时，我们已经看到，群是在集合上加了一个运算，以及与运算和元素有关的4四项基本规则。可谓1+1+4，一个“实体”，一个运算，4项规则，构成一个群。在此之上再加规则，就出来一个阿贝尔群，一个特殊的群。

那么，要搭成一个环需要加啥么？要的，但这回不是加元素，也不是加规则，是加一个运算。原来在群里只有一个运算，与集合凑在一起是一个1+1的结构，是一个实体+一个运算，当然，运算还必须满足一系列的规则，这个不变。现在要做的则是再加上一个运算，成为1+2的结构了，简洁的记法是(M,+,×)。

本来群运算并没有特指是哪个运算，这次也没，只是说两个运算不一样。我们知道，基本上只有两个普世的运算啦，一个加法+，一个乘法×。加法最基本，群构造里不可或缺的运算应该是+啦，这个新加的就是×了。

不过，环对这两个运算的限制条件是不一样的。环是构造在阿贝尔群之上的，对原有的运算限制当然是全套保留的，但对新加的运算就宽松很多。对于新加的这个运算，从原来的4项规则里，只要求它具备封闭性和满足结合律。

另外，如果在两个运算混合进行时，要求新的运算对原有的群运算可分配，而且是左右都可以分配的。比如元素a,b,c做新老混合运算，a×(b+c)，按四则运算法则，就必须是b+c这个老群运算先做了，在做新×运算。但对新运算的一个规矩就是，你的满足分配律，就是必须有a×(b+c)=(a×b)+(a×c)的结果。而且，这个对分配率的满足还必须是左右都适用的，就是(a+b)×c=(a×c)+(b×c)也得行。

就这样，在阿贝尔(交换)群上加了一个运算，这个运算又能遵守原有运算的前两个规则(不必守后面的规则)，在与原有运算一起干活时又左右都满足分配律，满足这些条件后，一个被称为“环”的代数结构就搭建起来了。

C.继续扯域

前面讲了，环是给阿贝尔群里加了一个运算得到的，但对后加的这个运算(乘法)的要求没对之前那个加法的高，不高的地方就在于不要求它遵守阿贝尔群对运算的全部5条要求，只要遵守半群对运算的要求就可以了。但要从环进阶到域，相关的要求就更高了，高就高在对两个运算的要求几乎一样严格，比如要有中性元，运算可逆，可交换啦。

这里要注意，对于加法和乘法，它们各自的中性元是不同的，在加法里，中性元e是0，在乘法里，e=1，这才能有对任何a，都有a+e=e+a=a和ax1=1xa=a。另外，在乘法里，对于0不存在逆元对应的运算，如1/0。

群环域进阶路径简述

以一个集合为基础，先加一个运算，逐步提高对运算的要求(增加应遵守的规则)，最后达到群的高峰~阿贝尔群。

然后在阿贝尔群的基础上再增加一个运算，得到环。其中对后一运算的要求没有对第一个运算那么高。

然后提高对第二个运算的要求，要它遵守第一个运算必须遵守的规则，这就得到了域。

集合，群，环和域，说的都是代数结构。后面还有一个大的代数结构，那就是向量空间。

D.向量空间

我们从关注线性代数的角度来谈向量空间，来看看它与我们在线代里接触到的向量空间从结构的理解上有啥异同。这事很重要，我们会多扯扯。

我们从代数结构的各级进阶一路走来，走到向量空间，它的进阶会从哪里着手呢？增加运算？增加规则？那些都是老套路了，向量空间要另辟蹊径，有所不同，它从增加集合做起。

你看，人家群环域都只用一个集合来搭代数结构的，而向量空间的这个进阶就是要在集合的数量上做文章。不过，它不是要在原来的集合里搞更多元素，而是说要把域里的两个运算建到两个不同的集合之上。

我们之前讲群环域的运算，开始没有硬性规定非得是哪个运算，走着走着，也就明朗了，就是加法和乘法了。但对集合里面的元素是些啥玩意，没提。其实，一般谈到群环域的，都会举例说明啥是群环域，用到最多的就是各种数字，比如整数，实数，复数啥啥的。这是必然的么，本来就是讲数学，只不过要从“代数结构”上来理解数学了，就用各类数字做集合，以便看看数字与运算结合以后的能从“结构”上做那些区分，有哪些一般性的规则。

我们来扯一个“结构性”差异的例子。比如，整数与加法就构成一个阿贝尔群，因为这个集合+运算的组合符合阿贝尔群所有对元素和运算的要求。但是，整数与乘法的这个集合+运算的组合就构不成一个阿贝尔群，因为满足不了阿贝尔群对运算的要求。比如对于运算可逆性(对称)的要求，对一个整数N，可逆(对称)性就是在集合里必须有元素1/N，使得N·1/N=1(中性元)，对吧？但你在集合中找不到1/N，因为它不是整数，不在整数这个集合里。而对于加法，集合里可以有-N，使N+(-N)=0(中性元)。你看，都是整数，但与运算一绑定，又有规则上的要求，不同组合在结构性上的差异就显现出来了。

上面扯了那么些，就是借此秀了一把原来的集合里用数字做元素的情况。向量空间在域的基础上引进一个新的集合，要搭出一个“空间”来，这个引进的集合就是向量。

说到向量，如果你还没在线性代数里混过，你或许还不清楚它是一个啥玩意。不过，这样或更好，你就不会一开始就被“向量就是有方向的量”这个通行的误导解说给带偏了。

向量是什么？向量就是“数组”，之前那个一直在玩的集合是数字，一个元素就是一个数字，不管它是什么数(整数，实数还是复数)，但都是一个一个论的。向量不一样了，它按组论，一个向量至少包含两个数字(才能成一组么)，。从通式上说，一个n维的向量就包含n个数字，它们各占一维，互不干扰。我们把在以数字(命名为F)做集合的域上用向量(命名为V)为另一个集合所搭建的代数结构叫域F上的向量空间V。向量(数组)里包含多少数字，我们就说这是多少维的空间，有n个数字，就是n维空间。

我觉得更准确的说法应该是“数组空间”，但既然已经约定成俗叫向量了，我们就不硬拗，就随大流。只是我们自己可以记住，“向量”就是数组，n维向量就是这个数组里面有n个数。

以上说的是向量空间的两个集合。但从之前的群环域里我们已经知道，讲代数结构，必须涉及运算，具体的就是加法和乘法。那么，在向量空间这个结构里，这个加法和乘法各又是咋玩的呢？

首先说，谁和谁玩，这两个集合是各玩各的运算？还是和在一起算的？先说加法，这是向量这个集合独家玩的东西，与数字集合不搭，也就是加法运算在向量空间中只能发生在向量之间。比如说有向量v和u，另外有数字a和b，在向量空间中只有v+u的加法运算，不会出现a+b的加法。

v和u是数组，需要看清细节时就写成v(v₁,v₂,…vₙ)，u(u₁,u₂,…uₙ)，说明一个向量里有n个数。v和u相加时，不是所有n个数字一窝蜂地加上去，不是的，它们是对应位置的两两相加，比如v₁只与u₁加，v₂只与u₂加，…vₙ只与uₙ加，超有规矩的，这就是向量的加法。结果就有w=v+u，其中w这个向量(数组)里的数字就为(v₁+u₁，v₂+u₂,…vₙ+uₙ)。

加法被向量玩掉了，乘法就归数字集合玩了么？也不是，而是它们两家一起玩，而且必须一起玩，没有单独玩的份。咋玩？就是av，用一个数字乘一个向量，具体的说，就是用一个数字a去乘向量v里的每个数字，av=a(v₁,v₂,…vₙ)=(av₁,av₂,…avₙ)。

(在这歇一歇)

再扯向量空间。

从“代数结构”的建构路径来理解线性代数的“向量空间”，这在一般都线性代数教材里是不会扯的，很多人以为这“空间”就跟咱存活的空间是一回事么，只不过多编了n维出来。原来这个向量空间还与“代数结构”有一腿。

忽然想到，为啥说代数有结构？有结构就是在看起来是一个整体的事物里有区别，分的出“结构”来。在代数结构里，最容易分的就是“集合”和“运算”这两类完全不同，又紧密相连的事物，这是大结构。之前扯过的代数结构的进阶在大结构上就是从一个集合为基础，不断引入运算，按1+1，1+2和2+2的大结构变化，从集合一路按群(好几级)、环、域的顺序一直搭到向量空间。

这篇关于代数结构的俗话说是依别人的葫芦画的瓢，只不过想到自己学这些内容时会遇到的各种拗口和由此而来的不明白，就尽量在根据对原作的理解说的更俗话一些。很多数学和科学内容不好懂，有内容真艰深的缘故，更有那些内容往往用专业的“切口”，你本来的智力很容易明白的事，它们一用切口，你就懵了。用俗话说一遍的“初心”就是大家都是明白人，用大白话一说就通的，就不要听别人用切口时那么辛苦了。

话说到向量空间这一段了，其实也该说完了。各位看官可以回头去看原作的本段，大致也就这些内容。数字与向量做乘法时的规则，啥结合律，分配律的，讲的清楚，就不必俗话再唠叨一遍了。

不过，说了是从学线代的角度来扯向量空间的，就从线代的角度再多扯几句，也不枉“歇一歇”了一回。

扯啥？运算！乘法运算！之前就说过向量空间有两大集合，要做两个运算，加法运算是向量的独门，只有向量(一个集合)之间可以(允许)有，数字(另外一个集合)之间就没有玩的。而数字则可以参与乘法，但也不是数字与数字乘，而是数字与向量乘。

关于加法和数字能参与的乘法运算这么说没错的，但在线代的向量空间里，乘法可不只是限于数字与向量之间，而是在向量与向量之间也有乘法，还不止一种。一个叫点积(内积)，一个叫叉积(外积)。

学线代的，再听不懂课，对向量有叉积和点积这两款向量乘法多少知道的。你若没学过线性代数，也不要紧，一说就知道咋乘了，尤其是点积(内积)。

之前说到向量加法，就是两个数组里相应位置的数字相加就行了，新向量当然也是同样维数(一个数组里有多少个数字)的，而每个位置的数字大小就是两个向量对应数学的相加。太简单了。乘法也一样，只有对应位置的数子才能乘一下，结果，n维度向量的点积就得到n个位置上的n个乘积了。一般的乘法做到这步就结束了(都乘好了么)，可向量的点积不同，它还要再啰嗦一步，就是把所有的n个乘积加总一下，得到一个总数。这个总数才是向量点积的结果。

如果你反应快(对没学过线代的人而言)，你会指出：那向量不就没有了？对哦，两个向量相乘(点积款的)，结果是一个数字，就不是向量了，那说好的运算封闭性到哪去了？

真是这样，向量的乘法运算(点积款)对向量这个集合是不封闭的，结果是落到数字这个集合里去了的。但是，它对向量空间这个范围是封闭的，数字这个集合也是向量空间的一部分么。本来就是么，数字和向量做数量积，结果数字与向量(不是数字)跨集合的运算，其结果可以与一个参与者(数字)不同集合，那么，同一个集合的运算结果落到另一个集合里，也没啥错，反正都妥妥地封闭在同一个向量空间中。

用代数式子表达，向量u与v点积就是：

u·v=(u₁,u₂,…uₙ)·(v₁,v₂,…vₙ)=(u₁v₁+u₂v₂+…+uₙvₙ)=c

最初的向量乘法是不加总的，结果还是一个向量。这本来是挺好的一件事，很直观地就把向量乘法搞定了(与加法的逻辑一样)。可是你在线性代数的向量空间里根本看不到这种乘法，为啥？因为搞数学的一直没有发现这种乘法的意义所在，而目前点积款的乘法是有意义的，且很起作用的，虽然它比与我们能直接从向量加法类比过来的乘法要多拐一道弯，还乘法出一个不是原来东西(不是向量就)的结果。

线性代数的向量空间里的向量乘法还有另一款，叫着叉积(外积)。这个叉积、点积叫法上的分别应该来源于乘法的符号区分，点积是“·”，叉积是“x”；而外积、内积(每个乘法有两个名字噢)应该来源于翻译，洋人叫点积为inner production，外积叫out production，洋务派就内积外积地叫起来。

这个外积与点积的不同之处是它的结果还是一个向量，w=u x v(请各位把中间的x理解为乘号)。这家伙是咋乘出来的就比较复杂了，这是线代课里的东西，我们扯代数结构的就暂时不用理它了。反正它在代数结构属性上也没啥特别的，即没有跨集合运算，结果又不跨集合，你就知道有这么个不同于点积款的向量乘法就是了。

如果非要多说点，那就是：若向量是3维(一个三个数字到数组)的，那么，两个向量相乘的结果是一个与这两个向量所在的平面垂直的向量。然后再告诉你一个基本上所有线代教材都回避不谈的一件事，就是这个向量的叉积只在3维向量上才有的乘，在别的维度上没法操作。很多学过线代的人都没意识到这一点。当然，这也不是讲代数结构需要弄清的事，而且叉积在能用的时候(比如3维向量的叉积)真的很有用，物理里大量用到。从代数结构的角度看，你需要知道的就是在线性代数的向量空间里，在乘法这个运算大类里有数量积(数量与向量的乘积)，点积(向量之间的乘积，结果是一个数字)和叉积(向量之间的乘法，结果还是向量)三款。

从线代角度来俗话说原作的向量空间结构，好像就这些了(还比原作要多拗出了一些“无关”内容么)。看了原作对代数结构的基本解读，觉得很清楚，然后按原作的唱本学着用俗话捋一遍，觉得更清楚了，也希望能有助于其它对代数结构原来不太清楚的同学。

如果今后就代数结构这个话题又想到啥，会再更。比如那个用群论来证明了5次以上的多项式无根式解的问题，还有杨老咋在的杨-米尔斯理论里(据说)借用群论提供了一个现代物理的基础性框架的，各种看不明白，等看明白了，会再用俗话扯一遍。