有没有大神求一下这个解析式?

发布时间：

2024-09-01 03:16

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我们假设这个瓶子是一个椭球截去了上下两个椭球冠。

椭球方程为

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1. \\$

为了方便，我们假设这个椭球在 $x,y$ 方向是对称的，即每个平行于 $xy$ 平面的平面与这个椭圆的截面都是一个正圆，而非椭圆。也即 $a=b.$

那么可以化简为

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1. \\$

即

$r^2+\frac{a^2 z^2}{c^2}=a^2. \\$

此时坐标系原点在这个椭球的中心，我们平移一下，使得截去下部的椭球冠的平面恰好为 $xy$ 平面，不妨假设在椭球中心下方 $H$ 单位的位置。

则此时方程变为

$r^2+\frac{a^2(z-H)^2}{c^2}=a^2.\quad(H < c,\quad -H \leqslant z \leqslant H) \\$

根据题意，每秒流出水的体积是固定的，所以求出体积与高度的关系即可。

将水瓶切成许多薄薄的薄片，薄片高度为 $\mathrm{d}z$ ，此时这样的小薄片可以近似为圆柱，体积为 $\mathrm{d}V=\pi r^2 \mathrm{d}z$

所以水罐体积与高度的关系就是

$V=\int_{0}^{2H}{\pi r^2}{\mathrm d}z. \\$

我们把积分的上极限改为 $h$ 这个变量（ $0\leqslant h\leqslant 2H$ ），即可得到水面位于为 $h$ 处时水罐所盛水的体积。

$\begin{aligned} V=\int_{0}^{h}{\pi r^2}{\mathrm d}z&=\pi \int_{0}^{h}\left [ {a^2- \frac{a^2(z-H)^2}{c^2}}\right ]{\mathrm d}z\\ &=\pi a^2h- \frac{\pi a^2}{c^2}\int_{0}^{h}{(z-H)^2}{\mathrm d}z\\ &=\pi a^2h- \frac{\pi a^2}{c^2} \cdot \frac{(z-H)^3}{3}\bigg|_{0}^{h}\\ &=\pi a^2h- \frac{\pi a^2}{c^2} \cdot \left(H^2h-Hh^2+\frac{h^{3}}{3}\right) .\end{aligned} \\$