现代数学和理论物理已经发展到怎样一个令人震惊的水平了？

数学学得不太专业，我只说物理。

丛观整个物理学史，我认为真正令人震惊的不是公式变得有多复杂（地心说搞得也挺复杂的。。。），而是物理学已经越来越脱离直观了。

牛顿时期：

老祖宗牛顿真是开了个好头啊，为了建立物理理论自己先搞出来了微积分，算是数学和物理结合的最初典范，简简单单的三个公式上能预测天体运动下能解释斜坡上的小滑块，真是让人不服不行。

牛顿力学的基本物理量是空间坐标x，时间t，质量m，还有能量，这几个量正常人都能很直观地理解是什么意思，在自然语言中也经常使用。

而且微积分这个东西直观性也非常好，想想我们解高数题的时候用到了很多形象思维，比如说我们可以把微分理解为小量，把积分理解为求和，仔细想想和初等数学差别不大。

后牛顿时期：

牛顿之后就是统计力学，麦克斯韦电磁学，分析力学这些了。虽然这些理论一定程度上独立于牛顿力学，但是和牛顿力学没有根本世界观上的矛盾。而且这些理论需要的数学也不过就是初等数学+微积分。

其中电磁学的基本物理量是电场和磁场，统计力学引入了熵，热这些量，总的来说直观性还是杠杠的。而分析力学比较微妙，虽然理论体系和牛顿力学完全等价，但是却以拉格朗日量和哈密顿量为基本物理量，之所以定义这两个量完全出于数学上的考量，没有直观性。后来证明这兄弟俩在现代物理中发挥了极其重要的作用。

爱因斯坦时期：

自从爱因斯坦降临于世，物理学就开始向变态的方向发展了。。。

在牛顿时期，是先有物理学的直观，然后才发展出了所需要的数学。而爱因斯坦时期恰恰相反，有一些之前数学家随便瞎玩的东西，本来没觉得和现实世界有任何关系，在这一时期却被引入了物理学，具体来说指的是微分流形，群论等。

狭义相对论告诉我们，时间空间地位相当，都是四维时空矢量的分量，切换惯性系实际上是在对四维时空进行旋转，我们可以类比三维旋转来理解。而动量，波矢，电磁场这些物理量都可以找到相应的四维协变形式。

广义相对论告诉我们，时空不是平坦的而是拧在一起的，我们之所以感觉是平坦的完全是因为我们周围没有密度特别大的东西所以时空弯曲效应不明显（当然这是在把地球造成的时空弯曲解释为引力的前提下说的），时间和空间第一次在物理学里发生了如此深刻的关联！真正描述时空的不是欧式几何而是黎曼几何（怒打康德脸）。总的来说，爱因斯坦用微分流形的语言取代了正常人对时空naive的理解，我们发现直观上想当然是对的东西不一定真是对的（如几何学里的平行线公理在现实世界就不对）。不过我们还是可以用可直观的二维三维空间弯曲来理解四维时空的弯曲。除了强调时空几何以外，相对论并没有比牛顿力学多引入任何基本物理量，只是把物理量整理成Lorentz协变的形式。

然后再说量子力学，尽管这家伙用到的数学没有广义相对论复杂，但真是太反直观了。

1. 它沿袭了分析力学里面哈密顿量，广义坐标的概念。

2. 牛顿力学里面用坐标和速度来描述一个粒子的状态，而量子力学不认为一个粒子有确定的坐标和速度，因此用波函数来表征粒子的状态，波函数的模方正是粒子的概率密度分布。除了坐标和动量以外，其他物理量也是概率性的。

3. 量子力学不认为物理量是个数，而是算符，或者说是线性代数里面的线性变换（Hermite的），（所以公式里两个物理量的位置就不能像以前那样按照乘法交换律随意交换），代数第一次在物理学里面被提到这么高的地位！

4. 它用的线性代数还不是大多数本科生学的实数域上的线代，而是复数域上的。没错，量子力学基本方程薛定鄂方程里面含有虚数！和电动力学里那种为了计算方便而引入的虚数不同，量子力学理论本身就需要复数结构！看上去不可能有物理意义的虚数居然出现在基本方程里面，这是何等的疯狂！

量子场论时期：

场论是现代物理的基本语言。其中基本物理量叫做场算符，包括标量场，矢量场和旋量场。Free theory的标量场定义为这样： 。如果说量子力学里面的波函数还可以通过概率密度来建立直观，那现在这个场算符就真的一点直观都没有了（实际上应该理解为一大堆谐振子的叠加，但是这样想对我来说很难受，谁关心谐振子啊。。orz），这样定义的一个很大的好处是它在Lorentz变换下的变换性质和普通的标量场一样。

学狭义相对论的时候我们一般把Lorentz变换理解为一些固定的四维矩阵，但是场论里自旋（spin）的概念让我们认识到，真正最重要的不是那个Lorentz矩阵，而是矩阵背后的Lie代数，或者说是Lorentz群。那个矩阵只不过是Lorentz群的一个四维表示（representation）而已，而像旋量这种二维的东西是按照二维的表示进行变换的。试问在相对论性量子力学建立之前，无论是数学家还是普通人，谁能想到群论这种高度抽象的东西能和自然界有这么深刻的联系？

场论对何谓粒子的理解也是高度抽象的，不是我们平常脑子里想的一个个小球，我引用Schwartz教材里的话: Particles transform under irreducible unitary representations of the Poincare group. This statement can even be interpreted as the definition of what a particle is. 很多人总是好奇反粒子到底是啥东西，其实在场论里，对反粒子的定义也是纯粹抽象的，没人能直观地告诉你为啥存在反粒子。

另外，场论把对称性的重要性提到了前所未有的高度，一个拉格朗日量之所以是其所是的样子，通常就是出于对对称性（包括Lorentz不变性）的考虑。很显然这是一个数学的理由而不是一个直观的理由。

再之后就是弦论，我暂时还不懂就不说了。

总结：

可以说整个物理学史是有从直观向抽象发展的趋势的。数学和物理如此深度的统一，在物理学之外的任何自然科学，社会科学，工科，商科都不曾出现过，这就是理论物理对我来说最令人震惊的地方。基于这个原因，数学和物理的统一体在我心中是人类文明最闪耀的两颗巨星中的一颗。

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我昨天发现了一篇讲数学物理关系的一篇文章：《数学与物理桥梁下的鸟瞰》 ，一开篇就讲共形场论和弦论。。反正我是看不懂orz。。如果看我写的这篇答案不过瘾可以继续看他这篇文章。