如何评价2024年数学建模国赛D题？

发布时间：

2024-09-06 14:23

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第一个问题：

分析投弹最大命中概率与投弹落点平面坐标及定深引信引爆深度之间的关系，并给出使得投弹命中概率最大的投弹方案，及相应的最大命中概率表达式。

要建立深水炸弹的命中概率模型，首先需要详细分析命中条件并将其与统计分布相结合。潜艇的中心位置的水平坐标 $(X, Y)$ 的定位均服从正态分布 $N(0, \sigma^2)$ ，深度的定位值 $Z$ 服从单边截尾正态分布。下面将进行详细推导。

1. 建立命中条件

如题所述，深弹的命中条件如下：

条件1：航空深弹落点在目标平面尺度范围内，且引爆深度位于潜艇上表面的下方，由触发引信引爆；
条件2：航空深弹落点在目标平面尺度范围内，且引爆深度位于潜艇上表面的上方，同时潜艇在深弹的杀伤范围内，由定深引信引爆；
条件3：航空深弹落点在目标平面尺度范围外，则到达引爆深度时，由定深引信引爆，且此时潜艇在深弹的杀伤范围内。

2. 猜测潜艇的坐标和深度

设潜艇的长、宽、高分别为 $100m, 20m, 25m$ ，潜艇的位置在 $x \in [-50, 50]$ 和 $y \in [-10, 10]$ ，潜艇的深度为 $[135, 150]$ 。

潜艇的俯视投影为长方形区域，目标范围为： - $X \in [-50, 50]$ - $Y \in [-10, 10]$

设深弹的落点为 $(x_D, y_D)$ ，引爆深度为 $Z_D$ 。

3. 投弹落点概率密度函数

由于 $(X, Y)$ 服从独立同分布的正态分布，目标区域内的概率密度函数为： $P((X, Y) \in A) = \int_A f_{X, Y}(x, y) dx dy$ 其中， $f_{X, Y}(x, y) = \frac{1}{2 \pi \sigma^2} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}}$ 。

4. 命中概率的计算

命中概率可以分别考虑条件1、条件2和条件3。

条件1 (触发引信)：

$\text{命中概率}_1 = P(X \in [-50, 50], Y \in [-10, 10], Z_D < Z + 25)$

条件2 (定深引信)：

$\text{命中概率}_2 = P(X \in [-50, 50], Y \in [-10, 10], Z_D > Z + 25, \sqrt{(X - X_D)^2 + (Y - Y_D)^2} < r)$

其中 $r=20m$ 为杀伤半径。

条件3 (平面外命中)：

$\text{命中概率}_3 = P(Z_D < Z + 25, \sqrt{(X - X_D)^2 + (Y - Y_D)^2} > r)$

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5. 最大化命中概率

为了得到最大命中概率的表达式，首先需要对 $Z_D$ 进行优化选择，并且在目标范围内选择 $(x, y)$ 的最佳投弹落点。在定位深度 $Z$ 确定的情况下，可以通过对 $Z_D$ 和 $(x_D, y_D)$ 的选择做最优化（比如取均值配合某些考虑）来最大化总的命中概率。

综合上述条件，可以得出投弹最大命中概率的表达式为：

$P_{\text{命中}}(x_D, y_D, Z_D) = \text{命中概率}_1 + \text{命中概率}_2 + \text{命中概率}_3$

6. 具体参数结果

带入给定参数： - 潜艇长100 m，宽20 m，高25 m； - 潜艇中心位置的水平定位标准差σ=120 m； - 潜艇中心位置的深度定位值为150 m。

最大化命中概率的方法为确定最佳 $(x_D, y_D)$ 和 $Z_D$ 的位置。

通过拉格朗日乘数法或者数值优化方法可以找到特定的 $(x_D, y_D)$ 和 $$ 为了分析投弹最大命中概率与投弹落点平面坐标及定深引信引爆深度之间的关系，我们可以从潜艇的形状、深弹的杀伤半径和潜艇的定位误差入手。

潜艇的模型：
假设潜艇的投影为长方形，其长和宽分别是 $L = 100 \, m$ , $W = 20 \, m$ 。
潜艇的深度为 $H = 25 \, m$ ，其在 Z 轴（深度方向）的实际位置在 $[h_0, h_0 + H]$ 之间。
深弹的杀伤范围：
假设深弹的杀伤半径为 $R = 20 \, m$ 。
潜艇位置误差：
水平坐标 $X, Y$ 均为独立的正态分布随机变量，具有均值 $0$ 和标准差 $\sigma = 120 \, m$ 。
深度方向上的潜艇定位误差假设没有，因此实际深度为 $150 \, m$ 。
投弹的命中条件：
按照问题的描述，深弹命中潜艇的条件如下：

触发引信引爆: 深弹落点在潜艇的水平范围内且引爆深度低于潜艇上表面。
定深引信引爆: 深弹落点在潜艇的水平范围内且引爆深度高于潜艇上表面，且在杀伤范围内。
超出水平范围但深度引爆: 深弹落点超出水平范围，且在引爆深度时，潜艇处于杀伤范围之内。

我们需要计算各个条件下的命中概率。

最大命中概率的表达式

我们先定义投弹落点为 $(x_0, y_0)$ ，则潜艇中心位置在水平面的坐标可以用随机变量 $X$ 和 $Y$ 表示。潜艇的有效命中范围为： - 对于 $X$ 轴: $-\frac{L}{2} \leq X \leq \frac{L}{2}$ 变换为绝对值可以写为 $|X| \leq 50$ 。 - 对于 $Y$ 轴: $-\frac{W}{2} \leq Y \leq \frac{W}{2}$ 变换为绝对值可以写为 $|Y| \leq 10$ 。

深弹引爆深度 $Z_b$ 应该是在 $150 \, m$ 下方以满足触发引信引爆的条件： $Z_b < 150 \, m \quad \& \quad Z_b \geq 150 - H = 125 \, m$

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概率表达

触发引信引爆的命中概率：
投弹精度符合潜艇的面积的条件是: $P_1 = P(-50 \leq X \leq 50, -10 \leq Y \leq 10) \\ = \int_{-10}^{10} \int_{-50}^{50} \frac{1}{2\pi \sigma^2} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}} \, dx \, dy$
计算该不等式内的积分可以得到命中概率。
定深引信引爆的命中概率：
取引爆深度 $Z_b = 155 \, m$ ，该命中概率为： $P_2 = P(|Z_b - Z| \leq R \, | \, (X,Y) \text{在潜艇的范围})$
超出范围的引爆条件：
定义 $P_3$ 为超出范围但引爆的概率，在这里，得出： $P_3 = P((|X| > 50 \, \text{或} \, |Y| > 10) \, | \, |Z_b - Z| \leq R)$

最佳投弹方案

在综合考虑以上各个情况后，我们可以透过优化反潜飞机的投弹落点 $(x_0, y_0)$ 和引爆深度 $Z_b$ ，使得 $P_1$ , $P_2$ , $$ 为了分析投弹最大命中概率与投弹落点平面坐标及定深引信引爆深度之间的关系，我们将定义一些变量，并构建相应的数学模型。

设潜艇的中心位置为原点，潜艇尺寸为长方体，长为100m，宽为20m，高为25m。潜艇航向的方位角为 $\beta = 90^\circ$ ，因此潜艇的投影范围为：

潜艇的投影长度范围为 $[-50, 50]$ (100m/2)
潜艇的投影宽度范围为 $[-10, 10]$ (20m/2)

深弹的杀伤半径为 $R = 20m$ ，我们假设深弹的引爆深度被设定为 $h$ 。

假设投弹落点在水平面上的坐标为 $(X, Y)$ 。考虑到潜艇的中心位置存在定位误差，有：

$X \sim N(0, \sigma^2)$
$Y \sim N(0, \sigma^2)$
设定 $\sigma = 120m$

深弹的命中定义如下：

如果航空深弹落点通过触发引信引爆，则要求落点 $(X, Y)$ 在潜艇投影范围内且引爆深度 $d$ 满足 $d < h + \frac{25}{2} = h + 12.5$ 。
如果航空深弹落点通过定深引信引爆，则要求落点 $(X, Y)$ 在潜艇投影范围内且引爆深度 $d$ 满足 $d > h - \frac{25}{2} = h - 12.5$ ，并且 $d$ 在潜艇的杀伤范围内，即 $\sqrt{(X - 0)^2 + (Y - 0)^2} \leq R$ 。
如果航空深弹落点在潜艇投影范围外，则引爆深度 $d$ 需满足到达引爆深度时潜艇在深弹的杀伤范围内。

概率模型

由于 $X$ 和 $Y$ 均服从正态分布，命中腹地概率可以表示为：

$P(H) = P(A) + P(B),$

其中：

$P(A)$ 为触发引信命中的概率。
$P(B)$ 为定深引信命中的概率。

1. 触发引信命中的概率

触发引信命中，即落点 $(X, Y)$ 在潜艇投影范围内，且引爆深度 $d$ 满足 $d < h + 12.5$ 。

根据正态分布的性质，我们有：

$P(A) = P(-50 < X < 50) \cdot P(-10 < Y < 10) \cdot P(d < h + 12.5).$

其中， $P(-50 < X < 50)$ 和 $P(-10 < Y < 10)$ 分别为：

$P(-50 < X < 50) = \Phi\left(\frac{50}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{-50}{\sigma}\right),$

$P(-10 < Y < 10) = \Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{-10}{\sigma}\right),$

$\Phi$ 为标准正态分布的分布函数。

2. 定深引信命中的概率

定深引信命中，即落点 $(X, Y)$ 在潜艇投影范围内，且引爆深度在潜艇上下表面之间，并且潜艇在深弹的杀伤范围内。

$P(B) = P(A' \cap H),$

其中 $A'$ 为落点在潜艇投影范围外， $H$ 为潜艇在杀伤范围内。这个概率通过积分计算。位置的联合概率与深度的标准正态分布一起计算。

最终组合上述概率：

$P(H) = P(A) + P(B) = \left( \Phi\left(\frac{50}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{-50}{\sigma}\right) \right)\left( \Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{-10}{\sigma}\right) \right) + P(B).$

最大命中概率 Expression

针对上述情况，可以优化投弹落点 $(X, Y)$ 和针对第一个问题，我们需要分析投弹落点与潜艇的关系，并建立相应的数学模型来计算最大命中概率。

实现步骤：

定义潜艇的几何参数：潜艇的长、宽和高。
计算触发引信和定深引信引爆位置的条件。
求解深弹投放的有效区域。
利用正态分布计算潜艇在平面上出现的概率。
得出最大命中概率的表达式并进行数值计算。

数学模型建立：

假设潜艇中心位置为 $(0, 0, h_0)$ 。
潜艇的上表面位于 $(x, y, h_0 + \frac{H}{2})$ ，下表面位于 $(x, y, h_0 - \frac{H}{2})$ 。
根据定位误差， $X$ 和 $Y$ 服从 $N(0, \sigma^2)$ 。

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触发引信和定深引信引爆条件：

触发引信：落点在潜艇中心的范围内且引爆深度低于 $h_0 + \frac{H}{2}$ 。
定深引信：落点在潜艇范围内且引爆深度高于 $h_0 - \frac{H}{2}$ ，同时潜艇在杀伤半径内。

最大命中概率表达式：

需要计算潜艇落在袭击范围内时，以 $\sigma$ 和 $r$ 计算相应的概率。

import numpy as np from scipy.stats import norm def calculate_hit_probability(sigma, h0, H, r): # 潜艇边界和深度条件 L = 100 # 潜艇长 W = 20 # 潜艇宽 D = 25 # 潜艇高 # 潜艇的深度阈值 upper_depth = h0 + D / 2 lower_depth = h0 - D / 2 # 触发引信命中区域 trigger_hit_area = (L / 2) * (W / 2) # 计算命中概率 prob_trigger = (norm.cdf(L/(2*sigma)) - norm.cdf(-L/(2*sigma))) * \ (norm.cdf(W/(2*sigma)) - norm.cdf(-W/(2*sigma))) # 计算出引爆深度的命中概率 prob_depth_hit = (norm.cdf(r / sigma) - norm.cdf(-r / sigma)) * \ (norm.cdf(upper_depth / sigma) - norm.cdf(lower_depth / sigma)) # 总命中概率 hit_probability = prob_trigger * prob_depth_hit return hit_probability # 参数设定 sigma = 120 # 潜艇水平定位标准差 h0 = 150 # 潜艇中心位置深度定位值 H = 25 # 潜艇高度 r = 20 # 杀伤半径 # 计算最大命中概率 max_hit_probability = calculate_hit_probability(sigma, h0, H, r) print(f"最大命中概率: {max_hit_probability:.4f}")

运行代码：

这段代码将输出给定参数下的最大命中概率。你可以根据不同的参数设置和需求进一步调整数值。第二个问题是：在潜艇中心位置各方向的定位均有误差的情况下，给出投弹命中概率的表达式，并设计定深引信引爆深度，以使得投弹命中概率最大。具体参数包括：潜艇中心位置的深度定位值为150 m，标准差 σz=40 m，潜艇中心位置实际深度的最小值为120 m，以及其他参数同问题1。为了解决第二个问题，我们将通过建立一个数学模型来计算投弹的命中概率，并优化定深引信引爆深度以最大化命中概率。

1. 建立基本模型

假设潜艇的中心在 = (X₀, Y₀, Z₀)，其中 X₀ 服从 $N(0, \sigma^2)$ , Y₀ 服从 $N(0, \sigma^2)$ ，而 Z₀ 的深度定位值为 150m，且 Z 服从单边截尾正态分布 $N(150, \sigma_z^2, 120)$ ，其中 $\sigma_z = 40 m$ 。

考虑深弹击中的情况，我们有以下几个条件：

潜艇的长宽：长 100m，宽 20m。
深弹杀伤半径为 20m。
定深引信引爆深度为 $h$ 。

2. 命中概率的计算

根据第二个问题的条件，我们计算深弹命中概率 $\mathbb{P}(hit)$ 。投弹命中可以发生在以下几种情况下：

触发引信引爆：
深弹落点在潜艇上方，且引爆深度在潜艇上表面的下方。
投弹落点 $(X, Y)$ 需要满足： $\sqrt{(X - X₀)^2 + (Y - Y₀)^2} \leq 50 \quad \text{(潜艇宽度的一半)}$
此外，深度 $Z$ 需要符合： $Z \leq h < Z₀ + 25$
定深引信引爆：
深弹落点在潜艇上方，且引爆深度在潜艇上表面的上方，同时潜艇在深弹的杀伤范围内。
必须满足以下条件： $\sqrt{(X - X₀)^2 + (Y - Y₀)^2} \leq 20 \quad \text{(杀伤半径)}$
深度 $Z$ 符合： $Z < h \quad \text{and} \quad Z₀ < h + 25$
在潜艇外部引爆：
落点在潜艇外，深弹的杀伤半径仍需包括潜艇位置。
符合条件： $Z < h \quad \text{and} \quad \sqrt{(X - X₀)^2 + (Y - Y₀)^2} > 50$

3. 命中概率公式

考虑潜艇在平面上可能的偏差，我们需要计算以下概率：

对于 X 和 Y 坐标：
确定落点范围的命中概率： $P_X = \Phi\left(\frac{50}{\sigma}\right)$ $P_Y = \Phi\left(\frac{50}{\sigma}\right)$ 其中 $\Phi$ 为标准正态分布函数。
对于深度 Z：
确定引信深度与潜艇深度的关系： $P_Z = P_{Z hit} = \mathbb{P}(Z \leq h) = \Phi\left(\frac{h - 150}{40}\right) - \Phi\left(\frac{120 - 150}{40}\right)$

4. 最大化命中概率

为了使投弹的总命中概率达到最大，我们需要综合考虑 $P_X, P_Y$ 和 $P_Z$ 的联合概率。可以使用以下关系：

$\mathbb{P}(hit) = P_X \cdot P_Y \cdot P_Z$

通过偏微分对 $h$ 进行求导并设置导数为 0，可以找到使得命中概率最大的 $h$ :

$\frac{d}{dh} \mathbb{P}(hit) = 0$

总结

最终，对于第二个问题，命中概率 $\mathbb{P}(hit)$ 的表达式为：

为了解决这个问题，我们首先需要考虑潜艇定位误差的模型。根据题意，潜艇中心位置的深度定位值为 $h_0 = 150 \, \text{m}$ ，而深度方向的定位标准差为 $\sigma_z = 40 \, \text{m}$ ，最小深度 $l = 120 \, \text{m}$ 。水平坐标 $X$ 和 $Y$ 均服从独立同分布的正态分布 $N(0, \sigma^2)$ ，其中 $\sigma = 120 \, \text{m}$ 。

在考虑投弹命中概率时，潜艇的深度和水平位置都需要纳入概率分析中。为此，我们定义几种情况来判定深弹的命中概率：

触发引信引爆时的命中条件：
当深弹落点在潜艇中心位置水平范围内，且引爆深度在潜艇上表面下方。
定深引信引爆时的命中条件：
深弹落点在潜艇中心位置水平范围内，且引爆深度在潜艇上表面上方，并且潜艇在杀伤范围内。
潜艇不位于水平范围内的情况：
深弹落点在潜艇中心位置水平范围以外，且引爆时，潜艇仍在深弹的杀伤范围内。

投弹命中概率的公式

假设潜艇的高为 $h = 25 \, \text{m}$ ，因此潜艇的上表面深度为 $h_0 - h = 125 \, \text{m}$ 。深弹的杀伤半径为 $r = 20 \, \text{m}$ 。

在水平定位误差下，深弹落点 $(X_f, Y_f)$ 服从二维正态分布：

$(X_f, Y_f) \sim N\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \sigma^2 & 0 \\ 0 & \sigma^2 \end{pmatrix}\right)$

其中， $\sigma = 120 \, \text{m}$ 。

对于深度定位，定义深度的误差：

$Z \sim N(h_0, \sigma_z^2) \text{，其中} \sigma_z = 40 \, \text{m}$

接下来，我们计算每种情况的命中概率。定义潜艇的位置为 $(0, 0, h_0)$ 。

1. 触发引信引爆条件

命中条件为：

$\text{命中}_1: \left| X_f \right| \leq 50 \text{ m}, \left| Y_f \right| \leq 10 \text{ m}, Z < 125 \text{ m}$

则命中概率为：

$P(\text{命中}_1) = P\left(\left| X_f \right| \leq 50\right) P\left(\left| Y_f \right| \leq 10\right) P(Z < 125)$

计算时，使用正态分布累积分布函数 $\Phi$ ：

$P\left(\left| X_f \right| \leq 50\right) = 2\Phi\left(\frac{50}{\sigma}\right) - 1$ $P\left(\left| Y_f \right| \leq 10\right) = 2\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right) - 1$ $P(Z < 125) = \Phi\left(\frac{125 - h_0}{\sigma_z}\right) = \Phi\left(\frac{125 - 150}{40}\right) = \Phi\left(-\frac{25}{40}\right)$

2. 定深引信引爆条件

命中条件为：

$\text{命中}_2: \left| X_f \right| \leq 50 \text{ m}, \left| Y_f \right| \leq 10 \text{ m}, Z \geq 125 \text{ m}, \text{且在杀伤范围内}$

其命中概率为：

$P(\text{命中}_2) = P\left(\left| X_f \right| \leq 50\right)$ 在处理问题2时，我们需要首先明确投弹命中概率的表达式。给定潜艇的具体尺寸和深度信息，我们将分析潜艇位置的随机性并求解最大命中概率。

问题2：投弹命中概率的表达式及定深引信引爆深度设计

1. 定义变量

设潜艇的中心坐标为 $(X_s, Y_s, Z_s)$ ：
$X_s \sim N(0, \sigma^2)$
$Y_s \sim N(0, \sigma^2)$
$Z_s \sim N(150, 40^2)$ ，并且不能小于120。
设深弹的投弹落点为 $(X_b, Y_b, Z_b)$ ，其中 $Z_b$ 是定深引信设定的爆炸深度。

2. 命中条件

根据题意，深弹被视为命中潜艇的条件为： - 在潜艇的水平范围内，并且引爆深度在潜艇的上表面下方（触发引信）。 - 在潜艇的水平范围内，并且引爆深度在潜艇的上表面上方，且潜艇在杀伤范围内（定深引信）。 - 在潜艇的水平范围外，但当到达引爆深度时，潜艇在杀伤范围内（定深引信）。

3. 计算命中概率

(1) 深度区间分析

潛艇的上表面深度为 $Z_u = Z_s + h$ ，其中 $h = 25$ m 为潜艇高度。因此，如果设定的引爆深度为 $Z_b$ ，则深弹的命中条件对应如下：

触发引信命中条件: $Z_b < Z_u = Z_s + 25$
定深引信命中条件（上方上限）: $Z_b > Z_u \quad \text{且} \quad \sqrt{(X_b - X_s)^2 + (Y_b - Y_s)^2} < 20$
定深引信命中条件（离开水平范围）: $\sqrt{(X_b - X_s)^2 + (Y_b - Y_s)^2} \geq 20 \quad \text{且} \quad Z_b < Z_s$

(2) 命中概率表达式

因此，投弹落点 $(X_b, Y_b)$ 和深度 $Z_b$ 的命中概率可以表示为： $P(\text{hit}) = P(\text{触发引信命中}) + P(\text{定深引信上方命中}) + P(\text{定深引信范围外命中})$

令潜艇的宽度为 20 m，长度为 100 m。命中概率可以通过标准正态分布函数形式表示为： $\text{命中概率} = 4 \cdot P(A) - P(B)$ 其中 $A$ 是深弹落点在潜艇范围内， $B$ 是深弹落点在潜艇范围外同时在杀伤范围内的事件。

为最大化命中概率，我们会通过合理调整 $Z_b$ 的值，使得触发引信和定深引信在潜艇实际深度 $Z_s$ 范围内最大化概率。

4. 优化设计决定

通过调整 $Z_b$ 的值以满足最大化触发引信及定深引信命中情况。为了使得 $P(\text{hit})$ 最大： - 可选择 $Z_b = Z_s + 5$ or $Z_u - \epsilon$ (即潜艇上表面下方5 m)，在保持致命半径的同时，确保触发引信的几率达到最大。

综上，投弹命中概率的公式及定深引信引爆深度的设计方案就如上所述。为了求解第二个问题，我们需要建立投弹命中概率的表达式，并设计一个合适的定深引信引爆深度，以使得投弹命中概率最大。根据题目的设定，我们将潜艇的平面尺寸和位置误差综合考虑。

投弹命中概率表达式

在潜艇深度定位没有误差的情况下，其水平坐标 (X, Y) 服从正态分布：

$X \sim N(0, \sigma^2)$
$Y \sim N(0, \sigma^2)$

潜艇的深度设置为 $Z$ 服从单边截尾正态分布：

$Z \sim N(h_0, \sigma_z^2, l)$

这里， $h_0 = 150 \, \text{m}$ , $\sigma_z = 40 \, \text{m}$ , 并且 $l = 120 \, \text{m}$ 意味着深度不能低于120 m。

深弹的命中条件包括： 1. 落点在潜艇的平面范围内，并且引爆深度在潜艇的上表面以下，触发引信引爆。 2. 落点在潜艇的平面范围内，并且引爆深度在潜艇的上表面以上，同时潜艇在深弹的杀伤范围内，引爆定深引信。 3. 落点在潜艇的平面范围外，并且潜艇在深弹的杀伤范围内，引爆定深引信。

我们可以定义一个方法来计算命中概率，并根据上述条件设计爆炸深度。

import numpy as np from scipy.stats import norm # 参数定义 length_submarine = 100 # 潜艇长度 m width_submarine = 20 # 潜艇宽度 m height_submarine = 25 # 潜艇高度 m kill_radius = 20 # 杀伤半径 m sigma = 120 # 水平定位标准差 m h0 = 150 # 深度定位值 m sigma_z = 40 # 深度标准差 m l = 120 # 深度最小值 m # 计算命中概率函数 def hit_probability(depth_trigger): # 假设深度范围 [h0 - height_submarine, h0] depth_range_top = h0 depth_range_bottom = h0 - height_submarine # 计算触发引信命中概率 p_trigger_hit = norm.cdf(depth_range_top, loc=depth_trigger, scale=sigma_z) - norm.cdf(depth_range_bottom, loc=depth_trigger, scale=sigma_z) # 计算火药引信命中概率 # 计算潜艇的最大深度 submarine_bottom_depth = h0 submarine_top_depth = h0 + height_submarine # 计算命中概率 # 首先根据爆炸深度可能性计算潜艇是否在杀伤半径内 p_kill_hit = 0 if depth_trigger > submarine_bottom_depth and depth_trigger < submarine_top_depth: p_kill_hit = 1 - norm.cdf(submarine_bottom_depth, loc=depth_trigger, scale=sigma_z) # 最后，总概率 total_hit_probability = p_trigger_hit + p_kill_hit return total_hit_probability # 设计定深引信引爆深度 best_probability = 0 optimal_depth = 0 # 在合理的范围内搜索最优深度 for depth in range(l, h0 + height_submarine + 1): prob = hit_probability(depth) if prob > best_probability: best_probability = prob optimal_depth = depth print("最佳定深引信引爆深度:", optimal_depth, "m") print("最大命中概率:", best_probability)

在这里插入图片描述

代码解释

参数定义：根据题目设定潜艇的长、宽、高、杀伤半径等。
命中概率函数：hit_probability 计算给定深度下的命中概率。包括触发引信和定深引信的计算逻辑。
最优深度搜索：在合理范围内迭代深度，并记录对应的最大命中概率和最优深度。
结果输出：最后打印最优深度和对应的命中概率。

运行上面的代码后，可以得到第三个问题是关于如何在投掷多枚深弹的情况下设计投弹方案，以最大化至少一枚深弹命中潜艇的概率。具体要求包括：

一架反潜飞机可携带9枚航空深弹。
所有深弹的定深引信引爆深度均相同。
投弹落点在平面上呈阵列形状。
使用与问题2相同的参数，包括潜艇中心位置的深度定位值（150 m）、标准差 $\sigma_z = 40$ m、潜艇中心位置实际深度的最小值（120 m），以及其他与问题1相同的参数。

这个问题旨在通过合理的规划投弹落点间隔和定深引信引爆深度，以提高至少有一枚深弹能够命中潜艇的概率。为了设计投弹方案，使得至少一枚深弹命中潜艇的概率最大，我们首先定义相关参数，并建立数学模型来计算命中概率。

参数定义

潜艇尺寸：
长度 $L = 100$ m
宽度 $W = 20$ m
高度 $H = 25$ m
潜艇航向方向：朝 0° 为正东，90° 为正南。
深弹杀伤半径： $R = 20$ m
潜艇中心位置的深度定位值： $h_0 = 150$ m
水平坐标定位标准差： $\sigma = 120$ m
深度坐标的标准差： $\sigma_z = 40$ m
深度的最小值： $l = 120$ m
反潜飞机可携带的深弹数量： $N = 9$
定深引信引爆深度： $h_d$

模型构建

假设我们将投弹落点在平面上呈网格阵列，间隔为 $d$ 米。落点坐标可以表示为 $(x_i, y_j)$ ：

$x_i = (i - \frac{N_x - 1}{2}) \cdot d$ $y_j = (j - \frac{N_y - 1}{2}) \cdot d$

其中 $N_x$ 和 $N_y$ 是陆地方向和南北方向上的深弹数量。

根据深弹爆炸触发条件，我们可以计算每枚深弹的命中概率。

命中概率公式

对于每枚深弹，命中概率可以分为三种情况：

触发引信引爆情况：深弹落点位于潜艇平面范围内且引爆深度低于潜艇顶部。

命中条件为： $|x - \mathcal{X}| \leq \frac{L}{2} \quad \text{且} \quad |y - \mathcal{Y}| \leq \frac{W}{2} \quad \text{和} \quad h_d < h_0 + \frac{H}{2}$

定深引信引爆且在杀伤范围内：深弹落点位于潜艇平面范围内且引爆深度高于潜艇顶部，且潜艇在杀伤范围内。

命中条件为： $|x - \mathcal{X}| \leq \frac{L}{2} \quad \text{且} \quad |y - \mathcal{Y}| \leq \frac{W}{2} \quad \text{和} \quad h_d \geq h_0 + \frac{H}{2} \quad \text{且} \quad (h_d - R) < h_0 + \frac{H}{2}$

落点在潜艇外部：深弹未落在潜艇平面范围内但到达引爆深度时潜艇在杀伤范围内。

命中条件为： $\sqrt{(x - \mathcal{X})^2 + (y - \mathcal{Y})^2} > \frac{L}{2} \text{或} > \frac{W}{2} \quad \text{和} \quad (h_d - R) < h_0 + \frac{H}{2}$

总体命中概率计算

设 $P_i$ 为第 $i$ 枚深弹的命中概率。由于深弹的投放是独立的，总体的命中概率为至少一枚命中的概率，计算公式如下：

$P_{\text{total}} = 1 - \prod_{i=1}^{9} (1 - P_i)$

其中 $P_i$ 根据以上三种情况的命中条件确定，并需考虑深弹在落点 $(x_i, y_j)$ 时的空间分布。

最优化方案

我们需要优化定深引信引爆深度 $h_d$ 和平面间隔 $d$ ，以最大化 $P_{\text{total}}$ 。使用数值方法（如蒙特卡洛模拟）可以依据不同的 $h_d$ 和 $d$ 为了解决第三个问题，我们需要考虑多个深弹的投射对潜艇的命中概率。在确定定深引信引爆深度和投弹落点之间的平面间隔时，我们的目标是最大化至少一枚深弹命中的概率。

设定参数

潜艇的尺寸为： - 长度： $L = 100 \, \text{m}$ - 宽度： $W = 20 \, \text{m}$ - 高度： $H = 25 \, \text{m}$

潜艇的航向角为 $\beta = 90^\circ$ 。

深弹的杀伤半径 $R = 20 \, \text{m}$ 。

潜艇中心位置的深度定位值为 $h_0 = 150 \, \text{m}$ 。

深度的标准差为 $\sigma_z = 40 \, \text{m}$ 。

潜艇中心位置的最小实际深度为 $l = 120 \, \text{m}$ 。

投掷多枚深弹的命中概率

在给定的条件下，若深弹按照阵列的方式投放，我们设所需参数如下： - 投弹落点之间的间隔为 $d \, \text{m}$ (我们将待优化的参数之一)。 - 共投放 9 枚深弹，阵列为 $3 \times 3$ 的格式。

命中条件

在设定深爆深度 $h_d$ , 深弹命中的条件和命中概率如下：

命中概率表达式：对于每个投弹落点 $(x_i, y_i)$ ，我们计算每枚深弹的命中概率。定义潜艇中心位置的水平坐标 $(X, Y)$ 独立分布于 $N(0, \sigma^2)$ 中，且深度 $Z \sim N(h_0, \sigma_z^2)$ 。
触发引信命中条件：
$|X_i| \leq L/2$ 且 $|Y_i| \leq W/2$
引爆深度： $Z \leq h_d$ (若 $h_d < h_0 + H$ )
定深引信命中条件：
$Z \geq h_d$ 且鱼雷处于杀伤范围内（此时需同时考虑级数范围和深度）。意味着潜艇实际深度 $Z$ 有可能在 $[h_d, h_d + R]$ 之间。

设计定深引信引爆深度与落点间隔

我们设选定深引信引爆深度 $h_d = h_0$ ，并计算该条件下的深弹命中概率。

已知潜艇实际深度 $Z$ 的分布函数 $\Phi\left(\frac{h_d - h_0}{\sigma_z}\right)$ 和深弹杀伤概率，可通过以下方法估算投弹落点的间隔 $d$ ：

落点概率计算：各深弹的命中事件是独立的，因此多枚深弹至少有一枚命中的概率为

$P(\text{至少一枚命中}) = 1 - P(\text{没有一枚命中}) = 1 - (1 - p_i)^n$

其中 $n$ 为深弹数（这里为9），而 $p_i$ 是每一枚深弹命中的概率。

优化落点间隔 $d$ ：私下设定的间隔根据潜艇的尺寸及其被攻击的可能性，通过模拟得到最佳的间隔值可计算出：

$d = \text{Optimized Value} \quad \text{（通过数值模拟确定）}$

为简化表达，可以同时考虑最优的投弹深度 $h_d$ 以最大化 $P(\text{至少一枚命中})$ ，进而完成最终的投弹方案，记录的反应为投弹间距是相应的。

总结

通过以上推导，若 9 枚深弹以 $d$ 为间隔被投放，而定深引信引爆深度为潜艇中心深度 $h_0$ ，且优化投弹的落点间隔将有助于最大化至少一枚深要解决第三个问题，我们需要建立一个数学模型来最大化至少一枚深弹命中潜艇的概率。首先，我们知道在问题2中，命中概率是基于潜艇的深度定位误差及投弹的深度引爆设置。我们根据这些信息设计投弹方案。

设定如下参数： - 潜艇长度 = 100 m - 潜艇宽度 = 20 m - 潜艇高度 = 25 m - 潜艇的深度定位值 $h_0 = 150 \text{ m}$ - 潜艇的深度定位标准差 $\sigma_z = 40 \text{ m}$ - 潜艇实际深度的最小值 $l = 120 \text{ m}$ - 深弹杀伤半径 $R = 20 \text{ m}$ - 投弹数量 $N = 9$ （反潜飞机可携带的深弹数量）

步骤 1: 确定投弹深度

我们使用与问题2相同的定深引信引爆深度 $h_d$ 。该深度应在潜艇的上表面（实际深度上限）与下表面（实际深度下限）间找到最佳位置。潜艇的实际深度服从单边截尾正态分布，其上限为 $h_0 + 25$ 和下限为 $h_0 - 25$ 。因此，潜艇的实际深度均值大约为 $h_0 = 150 \text{ m}$ ，并考虑到最小值 $120 \text{ m}$ 。