讨论数学中的公理的真假有没有意义？

既为公理，就有真无假，即

∀x(A(x)→T(x))

式中A为表征变元是一个公理的谓词，T为表征变元真值为1的谓词.

证明(李，2024)：设F为表征变元真值为0的谓词，D为表征变元满足公理的定义的谓词，并假定∃x(A(x)∧F(x))，则由公理的定义，有

∃x(A(x)∧F(x))

∃x(A(x)∧¬D(x))

∃x(A(x)∧¬A(x))

∀x(A(x)→T(x))

Q.E.D.

附题主修改问题前的答案：

公理都是可满足式，即

∀x(P(x)→Q(x))

式中P为表征变元是一个公理的谓词，Q为表征变元是可满足式的谓词.

证明(粗暴的反证法，职院级)：设R为表征变元是重言式的谓词，S为表征变元是永假式的谓词，并假定∃x(P(x)∧¬Q(x))，则由合式公式的分类、∀x(P(x)→¬S(x))公理和各类合式公式间的关系，有

∃x(P(x)∧¬Q(x))

∃x(P(x)∧¬R(x))

∃x:P(x)∧[S(x)∨¬S(x)]

∃x:P(x)∧[S(x)∨Q(x)]

∀x(P(x)→Q(x))

Q.E.D.

在讨论包括公理系统在内的判定问题时，最好直接上证明. 在证明过程中，若一阶语法不好使，就略作改进，不必拘泥于既有教科书给出的规则，毕竟你们来读研(尤其读博)就是要求自带创新. 切忌像大多数逻辑/数哲/科哲专业(方向)的学霸那样习惯用过多的自然语言(尤其传说中的哲学语言)表述一个数学问题，那是一种文科习气，越描越乱，既无助于答案的严格推导，还徒添纠结矣.