高中数学的解法和解高数题目有多大联系？

发布时间：

2024-08-15 05:14

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卷首点评

今年新I卷考96的话，说句客观但不中听的，实在有点差了...

此外你列的这些玩意，很难让我不怀疑：你们的高中老师教学完全不得法！就单拎这个【极值点偏移】来说，其本身没有任何价值，只是为了导数压轴题（甚至两年没出现了）的最后一小问，最多4~5分的醋包的一碟饺子，不知为啥到你口中变成重点了。还有这个【切割线放缩】，是个我完全没听说过的新奇玩意，我也没能联想到它能用来做哪种题。因此你现在的形势非常危险，在往“名词党”的岔路上越走越远，分数考不上去却满嘴都是华而不实的名词，要想学好高数必须根除这个误区！

下文从两个角度，给你把这个误区拆开揉碎了讲：

首先回过头审视高中数学，你说的所谓“解题方法”全部不值一提，那什么是正确的高中解题方法呢？这部分也是为众多高中生朋友写的，希望看完之后你们能逐步提升自己的应试技巧，考出更理想的分数；
随后以个人视角概括一下高数学了些啥，以及该如何掌握？这部分主要是为升入新大一的同学写的，希望能帮大家赢在起跑线上，在高数课程中斩获高绩点，为本科生涯奠定良好的开端。

在开始正文前，作者最后声明：如果你能认识到自己的误区，接受批评指正并积极改进，我会尽我所能帮助你；相反，如果你固执己见，认为我说的完全是错的，本人不接受任何辩驳，各位看官的眼睛自是雪亮的。

高中数学的提分要点

回看高中数学，你说的奇技淫巧全都没啥用，真正的要点反而一个都没提到...比如能通鲨立体几何和解析几何的【正交坐标系】，初高中一贯的【全等三角形】，不用看题目都能骗到一半分的【闭眼求导法】，以及在求解小题时事半功倍的【特殊值法】。它们每一个都是实打实的应试技巧，能在争分夺秒的考场上抢到尽可能多的分数。

下面咱按照高中考纲，一个个把它们梳理成定式。什么是定式呢？即指能通鲨一整类问题的单个方法，只要在考卷上遇到这类问题，直接按定式展开准不会错。

三角函数题：合成定式、分解定式

这算是题干中唯一正确的地方了，三角恒等变换确实是高中的一大考点。这种问题搁在卷子里都是送分题，掌握两大定式就够了：【合成定式】、【分解定式】。所谓合成，就是把一堆三角函数的运算归并成 $A\sin(\omega x + \varphi)$ 的标准形式，常用于大题或者图像题；所谓分解，就是把好几项三角函数的求和统统拆成 $\sin x$ 和 $\cos x$ ，再合并同类项。

除此之外，实战中往往会交替进行这两个定式，比如先拆了再合到一块。还有一种普遍出现的情况是三角函数图像类大题，比如单调区间、零点和极值问题，只要牢记“五点定图法”就能轻松拿下。对 $\sin(f(x))$ 类问题，这五点分别指代 $f(x)=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$ 这五点，对应函数值分别取 $0,1,0,-1,0$ 。这五点并不是一成不变的，比如对于某些只用到部分图像的问题，或是能稳定拿捏周期区间的同学，就能压缩到三点定图。

解三角形：全等定式

解三角形的问题就一个定式，笔者将其归结为【全等定式】，基本通鲨所有问题。此处的“全等”就指代初中学的那些条件，比如SSS、SAS、AAS，额外注意SSA并不全等。

为啥会牵扯到全等？剖析解三角形任务的本质，就是唯一确定一个三角形。这和全等的思想不谋而合：给定一个三角形，等价于三个角条件、三个边条件，利用其中的部分条件可唯一确定另一个三角形。

这下形势就完全明朗了，一切问题都回归了初中的全等证明。仅有的变化在于：我们会从题干中知晓一些等量关系，并掌握了正弦定理、余弦定理两大有力工具。

SSS型全等：已知三个边条件后，用余弦定理可算出所有的角条件，搞定；
SAS型全等：已知两角及一夹边，用余弦定理可算出对边，回归SSS条件；
AAS和ASA型：实际已知三角+一边，用正弦定理可算出其它边。

综上，只用我们初中就学过的全等条件，外加高中学的正弦、余弦定理，就能完全KO任意一个可解的三角形。一点难度都没有吧！

导数：极值定式

我不知道题干说的那些乱七八糟的技巧是哪来的。即便导数确实作为压轴题出现，用常规方法做（骗）不出来的顶多也就五分左右。这些时间精力拿去巩固其它题型，都远不止考96了啊...

导数看似一出场自带难题光环，仿佛有导数的题目就是拿来刁难人的。实则不然！据笔者的大量观察和考试经验，导数反而是最好拿分的一项，因为它的定式就明明白白地写在了教科书上。导数刚开始提出的时候，就是为了剖析函数的变化率，看看它啥时往上走，啥时往下降；啥时到高峰，啥时到低谷。因此导数题目自然绑定了【极值定式】，最常见的考法就是求某个函数的单调区间和最大最小值。

综上所述，导数题无非就几个要素：导函数、单调区间、极值。拿到一题导数题，哪怕题目都看不懂，只要按照如下步骤掰扯一番，并尽量把字写好看些，也能拿到10分以上的分数：

移项整理：先定位待分析的函数。例如原题可以转化为类似 $f(x)\geqslant0$ 的形式，下面就讨论对 $f(x)$ 求导；
求导：用导数的运算律和复合函数求导，准确地求出 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ ；
讨论单调性：令 $f'(x)=0$ ，求 $f(x)$ 的极值点和单调区间。

正常的导数题，例如今年的全国甲卷，上面的所有步骤均可在三分钟内完成。按上述顺序一通写下来后，一般来说前面的几小问就被秒了；哪怕是最后一小问，在上面这个定式的铺垫下，学有余力的同学也能接着往下捞点分，甚至一不小心还真就证毕了。

空间解析几何：坐标系定式

所谓【坐标系定式】，就是找一个点作为坐标原点，再由坐标原点引出三个相互垂直的单位向量，构成三维空间的 $O-xyz$ 坐标系。

这种方式处理立体几何大题，可以说又快又准。面对任意一题，我们上来先找一个坐标原点、三条相互垂直的坐标轴，然后把每个点的坐标列出来。遇到平面问题，例如线面角、二面角，随手求一下所涉及平面的法向就行，最后的距离、夹角关系可谓一目了然。

圆锥曲线：韦达定式

圆锥曲线大题有一类重要的定式：【韦达定式】，不管在小题还是大题中，都能时常碰见它的身影。所谓的韦达定式可以用九个字概括：“直线和圆锥曲线联立”，联立结果是一个一元二次方程，其两根恰为直线与圆锥曲线的两个交点。在实际计算时，我们未必要把两个根写出来，最常用的还是两根之和、两根之积、两根之差这几个特殊值，它们都可以用一元二次方程的韦达定理导出，因此得名。

既然要把直线和圆锥曲线联立，第一道坎自然是把这条直线设出来。最常见的设法是 $x=ty+m$ 与 $y=kx+m$ 这两种，看哪种方便用哪种。但这两种设法各自有一种情况照顾不到，就是和坐标轴平行的情形，强烈建议各位刚设完直线就讨论“斜率不存在”的情形。

定式内容就这么些，先设点设线再韦达定理，主要难点还是计算。

总结

上面所有内容源于笔者原创的一份“高考数学提分指南”。由于这里对排版的兼容性有限，我只不过是随手摘了一些重要的定式而已（所以看起来有些混乱，原版的逻辑顺序会清晰很多）。原文件中还有例题解析、提分技巧和书写规范，这里就不放了，以免喧宾夺主。如果有读者对完整版感兴趣，可在评论区联系作者获取，如果要的人够多我就单开一个文章。

哪怕就随手摘了一点点，都足以在高中考场上大鲨四方了！除了难度方差极大的数列外，解三角形大题、立体几何大题分别能被【全等定式】、【坐标系定式】稳吃；哪怕题目都来不及看完，用【韦达定式】和【极值定式】按部就班地一套写下来，都能熟练地骗到10分以上，省时省力。试想题主如果不去钻研那些花里胡哨的技巧，而是老老实实把这些基本功练到家，怎么考也不止96吧！

可以看出，高考中的基础题大多有对应的求解定式，按照这些定式一步步算下去，基本不会被卡住也很少出错。这里的定式并不是“应试教育”的象征，与此相反，所有的定式本身都蕴含着明确的问题求解思路：我们要求解什么问题？为此，我们需要做些什么？只要明确每一题的最终求解目标，很多题目的求解都会变得理所当然，而所谓的定式只不过是把它们流程化表述出来，仅此而已。